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@Gael Hola Gael! Exactoooo 😄 En este caso $x=0$ resultó ser punto crítico justo porque $f'(0)$ no existe. Y acordate que en la clase de estudio de funciones vimos que los puntos críticos salían de plantear $f'(x) = 0$, o bien, eran aquellos puntos que estaban en el dominio de $f$ y ahora no están en el de $f'(x)$. Si $f'(0)$ existia, entonces esto último no hubiera pasado y $x=0$ no hubiera sido punto crítico :)
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Graciass flor estoy recursando análisis y sirve un monton el contenido que aportas
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@Benjamin Una manera de pensarlo es así: Si vos querés despejar acá:
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ahh bien, osea que supongo que siempre que tenga un numero cualquier en el numerador, y en el denominador algun x y todo eso igualado a 0, mayormente podria dar absurdo?
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ahi lo resolvi, si lo hice bien, me quedo despues de unos calculos - 2x/3 y eso tiende a menos infinito
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@Benjamin Esto fijate que te lo respondí en una de tus primeras dudas de hoy, que era sobre este tipo de situaciones :) Sacás factor común $x^2$ ("el que manda") y ya lo justificas
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
t) $f(x)= \begin{cases}\frac{8 x}{x-1} & \text { si } x<0 \\ 3 x-x^{2} & \text { si } x \geq 0\end{cases}$
t) $f(x)= \begin{cases}\frac{8 x}{x-1} & \text { si } x<0 \\ 3 x-x^{2} & \text { si } x \geq 0\end{cases}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. A diferencia de los items anteriores, el único cuidado que vamos a tener que tener es que se trata de una función partida.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$. Ojo porque cambia la expresión que uso en cada caso:
Reportar problema
$\lim_{x \to +\infty} 3x-x^2 = -\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{8 x}{x-1} = 8$
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 8$ en $-\infty$
3) Calculamos $f'(x)$:
Bueno, atenti acá. Para cualquier $x$ mayor estricto que $0$ o menor estricto que $0$, puedo usar reglas de derivación. Me quedaría así:
$f'(x)= \begin{cases} \frac{-8}{(x-1)^2} & \text { si } x < 0 \\ 3 - 2x & \text { si } x>0\end{cases}$
Para el caso particular $x=0$ tenemos que derivar usando el cociente incremental, igual que venimos haciendo desde la guía pasada. Como te decía en el item anterior, ya resolvimos un montón de ejercicios así y mucho más difíciles y cuentosos que este. Deberías llegar a que los límites laterales no coinciden y por lo tanto $f'(0)$ no existe.
Como $f'(x)$ no está definida en $x=0$, pero este si pertenecía al dominio de $f$, entonces $x=0$ es punto crítico.
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar si hay otros puntos críticos. Tengo que evaluar cada sector por separado:
Para $x < 0$
$\frac{-8}{(x-1)^2}= 0$
Esta expresión nunca vale cero, por lo tanto no tenemos puntos críticos en $x < 0$
Para $x > 0$
$3 - 2x = 0$
Despejando, llegamos a que $x = \frac{3}{2}$ es punto critico.
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < 0$
b) $0 < x < \frac{3}{2}$
c) $x > \frac{3}{2}$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
b) Para $0 < x < \frac{3}{2}$,
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
c) Para $x > \frac{3}{2}$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:
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Gael
22 de mayo 19:02
Hola Flor una pregunta, vimos que si el límite del cociente incremental nos da distinto entonces la f´(x) en ese punto no existe y esa "x" es un punto crítico, pero si el limite nos da el mismo resultado entonces la derivada existe y esa "x" NO es un punto crítico a tener en cuenta o no?
Flor
PROFE
23 de mayo 8:17
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Gael
23 de mayo 22:33
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Flor
PROFE
21 de mayo 20:29
$\frac{-8}{(x-1)^2}= 0$
Pasas el $(x-1)^2$ multiplicando para el otro lado y te queda:
$-8 = 0$
Esto es un absurdo, por lo tanto, no hay ningún $x$ que verifique esa ecuación
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Benjamin
22 de mayo 8:22
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Benjamin
21 de mayo 18:31
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Flor
PROFE
21 de mayo 20:27
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