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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
t) f(x)={8xx−1 si x<03x−x2 si x≥0f(x)= \begin{cases}\frac{8 x}{x-1} & \text { si } x<0 \\ 3 x-x^{2} & \text { si } x \geq 0\end{cases}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. A diferencia de los items anteriores, el único cuidado que vamos a tener que tener es que se trata de una función partida. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) El dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty. Ojo porque cambia la expresión que uso en cada caso:

lim⁡x→+∞3x−x2=−∞\lim_{x \to +\infty} 3x-x^2 = -\infty

lim⁡x→−∞ 8xx−1 =8\lim_{x \to -\infty} \frac{8 x}{x-1} = 8 

Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y=8y = 8 en −∞-\infty 

3) Calculamos f′(x)f'(x):

Bueno, atenti acá. Para cualquier xx mayor estricto que 00 o menor estricto que 00, puedo usar reglas de derivación. Me quedaría así:

f′(x)={ −8(x−1)2 si x<03−2x si x>0f'(x)= \begin{cases} \frac{-8}{(x-1)^2} & \text { si } x < 0 \\ 3 - 2x & \text { si } x>0\end{cases} 

Para el caso particular x=0x=0 tenemos que derivar usando el cociente incremental, igual que venimos haciendo desde la guía pasada. Como te decía en el item anterior, ya resolvimos un montón de ejercicios así y mucho más difíciles y cuentosos que este. Deberías llegar a que los límites laterales no coinciden y por lo tanto f′(0)f'(0) no existe.

Como f′(x)f'(x) no está definida en x=0x=0, pero este si pertenecía al dominio de ff, entonces x=0x=0 es punto crítico. 
4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar si hay otros puntos críticos. Tengo que evaluar cada sector por separado:

Para x<0x < 0

−8(x−1)2=0\frac{-8}{(x-1)^2}= 0

Esta expresión nunca vale cero, por lo tanto no tenemos puntos críticos en x<0x < 0

Para x>0x > 0

3−2x =03 - 2x = 0

Despejando, llegamos a que x=32x = \frac{3}{2} es punto critico. 
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<0x < 0

b) 0<x< 320 < x < \frac{3}{2}

c) x> 32x > \frac{3}{2}
6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<0x < 0 f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. b) Para 0<x< 320 < x < \frac{3}{2},
f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente.

c) Para x> 32x > \frac{3}{2}
f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

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Gael
22 de mayo 19:02
Hola Flor una pregunta, vimos que si el límite del cociente incremental nos da distinto entonces la f´(x) en ese punto no existe y esa "x" es un punto crítico, pero si el limite nos da el mismo resultado entonces la derivada existe y esa "x" NO es un punto crítico a tener en cuenta o no?
0 Responder
Flor
PROFE
23 de mayo 8:17
@Gael Hola Gael! Exactoooo 😄 En este caso x=0x=0 resultó ser punto crítico justo porque f′(0)f'(0) no existe. Y acordate que en la clase de estudio de funciones vimos que los puntos críticos salían de plantear f′(x)=0f'(x) = 0, o bien, eran aquellos puntos que estaban en el dominio de ff y ahora no están en el de f′(x)f'(x). Si f′(0)f'(0) existia, entonces esto último no hubiera pasado y x=0x=0 no hubiera sido punto crítico :)
0 Responder
Gael
23 de mayo 22:33
Graciass flor estoy recursando análisis y sirve un monton el contenido que aportas 
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 18:54
por que -8/(x-1)^2 nunca vale 0? es por denominador?
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 20:29
@Benjamin Una manera de pensarlo es así: Si vos querés despejar acá:

−8(x−1)2=0\frac{-8}{(x-1)^2}= 0

Pasas el (x−1)2(x-1)^2 multiplicando para el otro lado y te queda:

−8=0-8 = 0

Esto es un absurdo, por lo tanto, no hay ningún xx que verifique esa ecuación
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:22
ahh bien, osea que supongo que siempre que tenga un numero cualquier en el numerador, y en el denominador algun x y todo eso igualado a 0, mayormente podria dar absurdo? 
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 18:27
como resolviste el limite de 3x-x^2?
0 Responder
Benjamin
21 de mayo 18:31
ahi lo resolvi, si lo hice bien, me quedo despues de unos calculos - 2x/3 y eso tiende a menos infinito
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 20:27
@Benjamin Esto fijate que te lo respondí en una de tus primeras dudas de hoy, que era sobre este tipo de situaciones :) Sacás factor común x2x^2 ("el que manda") y ya lo justificas 
0 Responder